kì thi tuyển sinh vào lớp 10 sắp tới gần. các em học sinh đang bận rộn ôn tập để chuẩn bị cho mình kiến thức thật vững vàng để tự tin bước vào phòng thi. trong đó, toán là một môn thi bắt buộc và khiến nhiều bạn học sinh lớp 9 cảm thấy khó khăn. Để giúp các em ôn tập môn toán hiệu quả, chúng tôi xin giới thiệu tài liệu tổng hợp các bài toán hình ôn thi vào lớp 10.
như các em đã biết, đối với môn toán thì các bài toán hình được nhiều bạn đánh giá là khó hơn rất nhiều so với đại số. trong các ề thi toán lên lớp 10, bài toán hình chiếm một số điểm lớn và yêu cầu các em muốn ược số điểm khá giỏi thì phải làm cượáhnc toáhn. Ể giÚp các em rèn luyện cách giải các bài toán hình 9 lên 10, tài liệu chúng tôi giới thiệu là các bài ton hình ược chọn lọc trong các ề thi các nte tảc. Ở mỗi bài toán, chúng tôi ều hướng dẫn cách vẽ hình, ưa ra lời giải chi tiết và kèm theo lời bình sau mỗi bài toán ểu ý ý lại các Ļ miể cmt. hy vọng, đây sẽ là một tài liệu bổ ích giúp các em có thể làm tốt bài toán hình trong đề và đạt điểm cao trong kì thi sắp tới.
me. các bài toán hình ôn thi vào lớp 10 chọn lọc không chứa tiếp tuyến.
bài 1: cho nửa đường tròn (o) đường kính ab= 2r, dây cung ac. gọi m là điểm chính giữa cung ac. một đường thẳng kẻ từ điểm c song song với bm và cắt am ở k , cắt om ở d. od cắt ac tại h.
1. chứng minh ckmh là tứ giác nội tiếp.
2. cmr: cd = mb; dm = cb.
3. xác điểm c trên nửa đường tròn (or) để ad chính là tiếp tuyến của nửa đường tròn.
bai giải chi tiết:
1. cmr tứ giác ckmh là tứ giác nội tiếp.
amb = 90o (vì là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn). => I am ⊥ mb. mà cd // bm (theo đề) nên cd ⊥ am . vậy mkc = 90o.
cung am = cung cm (gt) => om ⊥ ac => mhc = 90o.
tứ giác ckmh có mkc + mhc = 180o nên nội tiếp được trong một đường tròn.
2. cmr: cd = mb ; dm = cb.
ta có: acb = 90o (vì là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)
suy ra dm // cb . lại có cd // mb nên cdmb là một hình bình hành. từ đó ta suy ra: cd = mb và dm = cb.
3. ta có: ad là một tiếp tuyến của đường tròn (o) ⇔ ad ⊥ ab. Δadc có ak vuông góc với cd và dh vuông góc với ac nên điểm m là trực tâm tam giác. suy ra: cm ⊥ ad.
vậy ad ⊥ ab ⇔ cm // ab ⇔ cung am = cung bc.
mà am = mc nên cung am = cung bc ⇔ am = cung mc = cung bc = 60o.
lời binh:
1. Rõ Ràng Câu 1, Hình vẽ gợi ý cho ta cach chứng minh các góc h và k là những góc vuông, và ểc quả góc nội tiếp và giả thiết cd song song với mb. Góc h vuông ược suy từ kết quảa bài số 14 trang 72 sgk toán 9 tập 2. các em lưu ý các bài tập này ược vận dụng vào việc giải các bài toán hình ôn thi và vào lớp 10 khác nhé. 2. không cần phải bàn, kết luận gợi liền cách chứng minh phải không các em? 3. Rõ Ràng đy là câu hỏi khó ối với một số em, kể cả khi hiểu rồi vẫn không biết giải như thế nào, cc nhiều em m Mayn hơn vẽ ngẫu nhiê lại ở ở ở ở ở either. vị trí điểm c trên nửa đường tròn. khi gặp loại toán này đòi hỏi phải tư duy cao hơn. thông thường nghĩ nếu có kết quả của bài toán thì sẽ xảy ra điều gì ? kết hợp với các giả thiết và các kết quả từ các câu trên ta tìm được lời giải của bài toán.
bài 2: cho abc có 3 góc nhọn. Đường tròn có đường kính bc cắt hai cạnh ab, ac lần lượt tại các điểm e và f ; bf cắt ec tại h. tia ah bc tại điểm n.
a) cmr: tứ giác hfcn là tứ giác nội tiếp. b) cmr: fb là tia phân giác của góc efn. c) nếu ah = bc. hãy tìm số đo góc bac trong Δabc.
bai giải chi tiết:
a) ta có: bfc = bec = 90o
(vì là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn đường kính bc)
tứ giác hfcn có hfc = hnc = 180o nên nó nội tiếp được trong đường tròn đường kính hc) (đpcm).
b) ta có efb = ecb (hai góc nội tiếp cùng chắn cung be của đường tròn đường kính bc).
ecb = bfn (hai góc nội tiếp cùng chắn cung hn của đường tròn đường kính hc).
suj ra: efb = bfn. từ đó suy ra fb là tia phân giác của góc efn.
c) xét Δfah và Δfbc: afh = bfc = 90o, ah bằng đoạn bc (gt), fah = fbc (cùng phụ với góc acb). do đó: Δfah = Δfbc (cạnh huyền- góc nhọn). từ đó suy ra: fa = fb.
Δafb là tam giác vuông tại f; fa = fb nên nó vuöng cân. do đó bac = 45o
ii. các bài toán hình ôn thi vào lớp 10 có chứa tiếp tuyến.
bài 3: cho nửa đường tròn tâm o và nó có đường kính ab. từ một điểm m nằm trên tiếp tuyến axe của nửa đường tròn, ta vẽ tiếp tuyến thứ hai tên gọi là mc (trong đó c là tiếp điếpm). từ c hạ ch vuông góc với ab, mb cắt (or) tại điểm q và cắt ch tại điểm n. gọi g i = mo ∩ ac. sir:
a) tứ giác amqi là tứ giác nội tiếp. b) góc aqi = góc aco c) cn = nh.
(trích đề thi tuyển sinh vào lớp 10 năm học 2009-2010 của sở gd&Đt tỉnh bắc ninh)
bai giải chi tiết:
a) ta có: ma = mc (tính chất hai tếp tuyến cắt nhau), oa = oc (bán kính đường tròn (o)))
do đó: mo ⊥ ac => mine = 90o.
aqb = 90o (vì là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)
=> mqa = 90o. hai đỉnh i và q cùng nhìn am dưới một góc vuông nên tứ giác amqi nội tiếp được trong một đường tròn.
b) tứ giác amqi nội tiếp nên aqi = ami (cùng phụ góc mac) (2).
Δaoc có oa bằng với oc nên nó cân tại o. => cao = aco (3). từ (1), (2) (3) ta suy ra aqi = aco.
c) chứng minh cn = nh.
gọi k = bc ∩ ax. ta có: acb = 90o (vì là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn).
ac vuông góc với bk , ac vuông góc với om om song song với bk. tam giác abk có: oa = ob và om // bk nên ta suy ra ma = mk.
Theo hệ quả ĐLTa let cho có NH song song AM (cùng vuông góc AB) ta được: 
(4). Theo hệ quả ĐL Ta let cho ΔABM có CN song song KM (cùng vuông góc AB) ta được:
(5). Từ (4) và (5) suy ra:
. Lại có KM =AM nên ta suy ra CN = NH (đpcm).
lời binh
1. câu 1 là dạng toán chứng minh tứ giác nội tiếp thường gặp trong các bài toán hình ôn thi vào lớp 10. hình vẽ gợi cho ta suy nghĩ: cần chứng minh hai đỉnh q và i cùng nhìn am dưới một góc vuông. góc aqm vuông có ngay do kề bù với acb vuông, góc mia vuông được suy từ tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau. 2. câu 2 được suy từ câu 1, dễ dàng thấy ngay aqi = ami, aco = cao, vấn đề lại là cần chỉ ra ima = cao, điều này không cákhó phải khô? 3. do ch // ma , mà đề toán yêu cầu chứng minh cn = nh ta nghĩ ngay việc kéo dài đoạn bc đến khi cắt ax tại k . khi đó bài toán sẽ thành dạng quen thuộc: cho tam giác abc và m là trung điểm của bc. vẽ đường thẳng d song song bc cắt ab, ac ,am lần lượt tại e, d, i. cmr : ie = id. nhớ được các bài toán có liên quan đến một phần của bài thi ta qui về bài toán đó thì giải quyết đề thi một cách dễ dàng.
bài 4: cho đường tròn (or) có đường kính là ab. trên ab lấy một điểm d nằm ngoài đoạn thẳng ab và kẻ dc là tiếp tuyến của đường tròn (or) (với c là tiếp điểm). gọi e là hình chiếu hạ từ a xuống đường thẳng cd và f là hình chiếu hạ từ d xuống ac.
chong minh:
a) tứ giác efda là tứ giác nội tiếp. b) af là tia phân giác của góc ead. c) tam giác efa và bdc là hai tam giác đồng dạng. d) hai tam giác acd và abf có cùng diện tích với nhau.
(trích đề thi tốt nghiệp và xét tuyển vào lớp 10- năm học 2000- 2001)
bai giải chi tiết:
a) ta có: aed = afd = 90o (gt). hai đỉnh e và f cùng nhìn ad dưới góc 90o nên tứ giác efda nội tiếp được trong một đường tròn.
b) ta co:
. vậy eac = cad (so he trong)
tam giác aoc cân tại o (oa = oc = bán kính r) nên suy ra cao = oca. do đó: eac = cad. do đó af là tia phân giác của góc ead (đpcm).
Δefa và Δbdc có:
efa = cdb (hai góc nội tiếp cùng chắn cung của đường tròn ngoại tiếp tứ giác efda).
. vậy Δefa và Δbdc là hai tam giác đồng dạng với nhau (theo t/h góc-góc).
bài 5: cho tam giác abc (bac < 45o) là tam giác nội tiếp trong nửa đường tròn tâm o có đường kính ab. vẽ tiếp tuyến của đường tròn (or) tại c và gọi h là hình chiếu kẻ từ a đến tiếp tuyến. Đường thẳng ah cắt đường tròn (o) tại m (m ≠ a). Đường thẳng kẻ từ m vuông góc với ac cắt ac tại k và ab tại p.
a) cmr tứ giác mkch là một tứ giác nội tiếp. b) cmr: map là tam giác cân. c) hãy chỉ ra điều kiện của Δabc để m, k, o cùng nằm trên một đường thẳng.
bai giải chi tiết:
a) ta co : mhc = 90o(gt), mhc = 90o (gt)
tứ giác mkch có tổng hai góc đối nhau bằng 180o nên tứ giác mkch nội tiếp được trong một đường tròn.
b) ah song song với oc (cùng vuông góc ch) nên mac = aco (so le trong)
Δaoc cân ở o (vì oa = oc = bán kính r) nên aco = cao. do do: mac = cao. vậy ac là phân giác của mab. tam giác map có đường cao ak (vì ac vuông góc mp), và ak cũng là đường phân giác suy ra tam giác map cân ở a (đpcm).
ta có m; k; p thẳng hàng nên m; k; o thẳng hàng nếu p trùng với o hay ap = pm. theo câu b tam giác map cân ở a nên ta suy ra tam giác map đều.
do đó cab = 30o. ngược lại: cab = 30o ta chứng minh p=o:
khi taxi = 30o => mab = 30o (vì tia ac là phân giác của mab) . vì tam giác mao cân tại o lại có mao = 60o nên mao là tam giác đều. do đó: ao = am. mà am = ap (do Δmap cân ở a) nên suy ra ao = ap. vậy p=o.
trả lời: tam giác abc cho trước có cab = 30o thì ba điểm m; k ;o cùn nằm trên một đường thẳng.
bài 6: cho đường tròn tâm o có đường kính là đoạn thẳng ab có bán kính r, ax là tiếp tuyến của đường tròn. trên ax vẽ một điểm f sao cho bf cắt (o) tại c, đường phân giác của góc abf cắt ax tại điểm e và cắt đường tròn (o) tại đm
a) cmr: od song song bc. b) cm hệ thức: bd.be = bc.bf c) cmr tứ giác cdef là tứ giác nội tiếp.
bai giải chi tiết:
a) Δbod cân tại o (do od = ob = bán kính r) => obd = odd
mà obd = cbd (gt) nên odb = cbd. do đó: od // bc.
adb = 90o (vì là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn (o) => ad ⊥ be.
acb = 90o (vì là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn (o) => ac ⊥ bf.
Δeab vuông tại a (do ax là đường tiếp tuyến ), có ad vuông góc be nên:
ab2 = bd.be(1).
Δeab vuông tại a (do ax là đường tiếp tuyến), có ac vuông góc bf nên
ab2 = bc.bf (2).
theo (1) và (2) ta suy ra: bd.be = bc.bf.
c) ta co:
cdb=taxi (vì là 2 góc nội tiếp cùng chắn cung bc)
cab=cfa ( vì là 2 góc cùng phụ với góc fac)
do đó : góc cbd=cfa.
do đó tứ giác cdef nội tiếp.
cách khác
Δdbc và có Δfbe: góc b chung và (suy ra từ gt bd.be = bc.bf) nên chúng là hai tam giác đồng dạng (c.g.c). suy ra: cdb = efb. vậy tứ giác cdef là tứ giác nội tiếp.
lời binh
1. với câu 1, từ gt bd là phân giác góc abc kết hợp với tam giác cân ta nghĩ ngay đến cần chứng minh hai góc so le trong odb và obd bằng nhau. 2. Việc Chú ý ến Các Góc nội tiếp chắn nửa ường tròn kết hợp với tam giác aeb, fab vuông do ax là tiếp tuyến gợi ý ngay ến hệc lượng Trag tam giác vuông vuông vueyg. tuy nhiên vẫn có thể chứng minh hai tam giác bdc và bfe đồng dạng trước rồi suy ra bd.be = bc.bf. với cách thực hiện này có ưu việc hơn là giải luôn được câu 3. các em thử thực hiện xem sao? 3. trong tất cả các bài toán hình ôn thi vào lớp 10 thì chứng minh tứ dạng nội tiếp là dạng toán cơ bản nhất. khi giải được câu 2 thì câu 3 có thể sử dụng câu 2 , hoặc có thể chứng minh theo cách 2 như bài giải.
bài 7: từ điểm a ở ngoài đường tròn (o), kẻ hai tiếp tuyến ab, ac tới đường tròn (b, c là các tiếp điểm). Đường thẳng đi qua a cắt đường tròn (o) tại hai điểm d và e (trong đó d nằm giữa a và e, dây from không qua tâm o). lấy hlà trung điểm của de và ae cắt bc tại điểm k .
a) CMR: tứ giác ABOC là một tứ giác nội tiếp. b) CMR: HA phân giác của góc BHC c) CMR: : 
.
bai giải chi tiết:
a) abo = aco = 90o (tính chất tiếp tuyến)
tứ giác aboc có abo + aco = 180o nên là một tứ giác nội tiếp.
b) AB = AC (theo tính
chất tiếp tuyến cắt nhau). Suy ra: cung AB = AC. Do đó AHB = AHC. Vậy HA là phân giác của góc BHC. c) Chứng minh : 
Δabd và Δaeb có:
góc bae chung, abd = aeb (cùng bằng 1/2 sđ cung bd)
suj ra : Δabd ~ Δaeb
bài 8: cho nửa đường tròn (or) có đường kính ab = a. gọi hai tia ax, por là các tia vuông góc với ab (axe, por thuộc cùng một nửa mặt phẳng bờ ab). qua một điểm m thuộc nửa đường tròn (o) (m không trùng với a và b), vẻ các tiếp tuyến với nửa đường tròn (o); chúng cắt axe, by lần lượt tại 2 điểm e và f.
1. chứng minh: eof = 90o
2. chứng minh tứ giác aemo là một tứ giác nội tiếp; hai tam giác mab và oef đồng dạng.
3. gọi k là giao của hai đường af và be, chứng minh rằng mk ⊥ ab.
4. nếu mb = √3.ma, tính s tam giác kab theo a.
bai giải chi tiết:
1. ea, em là hai tiếp tuyến của đường tròn (o)
cắt nhau ở e nên oe là phân giác của aom.
tương tự: de là phân giác của góc bom.
mà aom và bom là 2 góc kề bù nên: eof = 90o (đpcm)
2. ta có: eao = emo = 90o (tính chất tiếp tuyến)
tứ giác aemo có eao + emo = 180o nên nội tiếp được trong một đường tròn.
hai tam giác amb và eof có: amb = eof = 90o và mab = meo (vì 2 góc cùng chắn cung mo của đường tròn ngoại tiếp tứ giác aemo. từ đó suy ra: tam giác amb và tam eof là 2 giác đồng dạng với nhau (g.g).
3. tam giác aek có ae song song với fb nên: . lại có : ae = me và bf = mf (t/chất hai tiếp tuyến cắt nhau). nên do đó mk // ae (định lí đảo của định lí talet). lại có: ae vuông góc ab (giả thiết) nên mk vuông góc với ab.
4. Gọi N là giao của 2 đường MK và AB, suy ra MN vuông góc với AB. 
lời binh
(Đây là đề thi tuyển sinh vào lớp 10 năm học 2009-2010 của tỉnh hà nam) .
trong các bài toán ôn thi vào lớp 10 , từ câu a ến câu b chắc chắn thầy cô nào đã từng cũng ôn tập, ngay, khỏi phải bàn. bài toán 4 này có 2 câu khó là c và d, và đây là câu khó mà người ra đề khai thác từ câu: mk cắt ab ở n. chứng minh: k là trung điểm mn.
nếu ta quan sat kĩ mk là ường thẳng chứa ường cao của tam giác amb ở câu 3 và 2 tam giác akb và amb cón chung đáy ab thì ta sẽ ngay ếnh lí tỉ số diện tích hai đường cao tương ứng, bài toán qui về tính diện tích tam giác amb không phải là khó phải không các em?
trên đây, chúng tôi vừa giới thiệu xong các bài toán hình ôn thi vào lớp 10 có đáp án chi tiết. Lưu ý, ể lấy ược điểm Trung bình các em cần phải làm kĩ dạng ton chứng minh tứ giac nội tiếp vì đây là dạng ton chắc chắn sẽ gặp trong mọi ề thi tuyểp. các câu còn lại sẽ là những bài tập liên quan đến các tinh chất khác về cạnh và góc trong hình hoặc liên quan đến tiếp tuyến tròn đ. một yêu cầu nữa là các em cần phải rèn luyện kĩ năng vẽ hình, ặc biệt là vẽ ường tròn vì trong cấu trúc ề thi nếu hình vẽ bẽ sai mẽ là m. Các Bài tập trên đây chung tôi chọn lọc ều chứa những dạng toán thường gặp trong các ềề thi cả n ước nên cực kì thích hợp ểể các em tựn tập trong thời m nex nx n. hy vọng, với những bài toán hình này, các em học sinh lớp 9 sẽ ôn tập thật tốt để đạt kết quả cao trong kì thi vào 10 sắp t>
